Angewandte Berechnungen: Von Volumen bis Mischungskreuz

1. Volumen- und Mengenberechnungen

Eine der häufigsten Aufgaben ist die Berechnung von Volumina und Stückzahlen.

• Volumen eines Quaders: $V = \text{Länge} \times \text{Breite} \times \text{Höhe}$. Ein Tank mit den Maßen $5,0 \text{ m} \times 2,0 \text{ m} \times 1,5 \text{ m}$ fasst $15 \text{ m}^3$, was 15.000 Litern entspricht. Ein Quader mit den Kantenlängen 5 dm, 2 dm und 3 dm hat ein Volumen von $5 \times 2 \times 3 = \text{30 dm}^3$.
• Volumen eines Zylinders: $V = \pi \cdot r^2 \cdot h$. Ein zylindrischer Tank mit $d=1,5 \text{ m}$ ($r=0,75 \text{ m}$) und $h=3,2 \text{ m}$, der zu 3/4 gefüllt ist, enthält ca. 4241 Liter.
• Füllhöhe berechnen: Stellt man die Quaderformel um, erhält man $h = \frac{V}{l \cdot b}$. Ein Behälter ($300 \times 500 \text{ mm}$) mit 25,5 L Öl hat eine Füllhöhe von $\frac{25,5 \text{ dm}^3}{3 \text{ dm} \cdot 5 \text{ dm}} = 1,7 \text{ dm} = \text{170 mm}$.
• Stückzahl in einem Behälter: Man berechnet, wie oft die Abmessungen des Teils in die Abmessungen der Kiste passen. In eine Kiste ($800 \times 600 \times 1200 \text{ mm}$) passen 160 Teile der Größe $200 \times 150 \times 120 \text{ mm}$.

2. Dreisatz und Verhältnisrechnung

Der Dreisatz hilft, unbekannte Größen aus einem bekannten Verhältnis zu berechnen.

• Proportionaler Dreisatz: "Mehr von A bedeutet mehr von B".
  • Preisberechnung: Wenn 3,5 kg eines Pulvers 47,25 € kosten, wie viel kostet dann 1 kg? Rechnung: $\frac{47,25 \text{ €}}{3,5 \text{ kg}} = \text{13,50 €/kg}$.
  • Leistungsberechnung: Wenn eine Anlage in 8 h eine Fläche von 14.000 m² beschichtet (1750 m²/h), dann schafft sie in 13 h eine Fläche von $13 \times 1750 = \text{22.750 m}^2$.
  • Zeitberechnung: Wenn eine Anlage 4.500 L/h filtert, dauert die Filtration von 11.250 L: $\frac{11.250 \text{ L}}{4.500 \text{ L/h}} = \text{2,5 h}$.
• Antiproportionaler Dreisatz: "Mehr von A bedeutet weniger von B".
  • Maschinenlaufzeit: Wenn 4 Maschinen 6 Stunden für einen Auftrag benötigen (Gesamtarbeit: 24 Maschinenstunden), dann benötigen 3 Maschinen für denselben Auftrag: $\frac{24 \text{ Maschinenstunden}}{3 \text{ Maschinen}} = \text{8 Stunden}$.

3. Mischungsrechnung: Die richtige Konzentration finden

Das Mischen von Lösungen mit unterschiedlichen Konzentrationen ist eine Standardaufgabe.

• Mischen von zwei Konzentrationen: Mischt man 22 kg einer 8%-igen Lake und 52 kg einer 20%-igen Lake, berechnet man zuerst die absolute Salzmenge in jeder Lake ($1,76 \text{ kg}$ und $10,40 \text{ kg}$) und addiert diese zur Gesamtsalzmasse von 12,16 kg. Die Gesamtmasse der Mischung beträgt $74 \text{ kg}$. Der neue Salzgehalt ist dann $\frac{12,16 \text{ kg}}{74 \text{ kg}} \approx \text{16,4\%}$.
• Verdünnen auf eine Zielkonzentration: Um 1200 kg eines 2,4%-igen Essigaufgusses aus 10%-igem Essig und Wasser herzustellen, berechnet man zuerst die benötigte reine Essigmenge: $1200 \text{ kg} \times 0,024 = 28,8 \text{ kg}$. Diese Menge muss aus dem 10%-igen Essig kommen, also braucht man $\frac{28,8}{0,10} = \text{288 kg}$ davon. Der Rest ist Wasser: $1200 - 288 = \text{912 kg}$.
• Aufkonzentrieren auf eine Zielkonzentration: Wenn 1800 kg Wasser so mit Zucker gemischt werden sollen, dass das Endprodukt 20% Zucker enthält, dann entsprechen die 1800 kg Wasser 80% des Endgewichts. Das Gesamtgewicht ist also $\frac{1800}{0,80} = 2250 \text{ kg}$. Die benötigte Zuckermenge ist die Differenz: $2250 - 1800 = \text{450 kg}$.

4. Weitere Berechnungen

• Dichte: $ \rho = \frac{m}{V} $. Ein Behälter wiegt 102 kg, leer 12 kg. Er enthält also 90 kg Öl. Bei einer Dichte von $0,9 \text{ kg/dm}^3$ ist das Volumen: $V = \frac{90 \text{ kg}}{0,9 \text{ kg/dm}^3} = 100 \text{ dm}^3 = \text{100 L}$.
• Kostenkalkulation: Wenn 200 kg Palmfett pro Tag zu 0,40 €/kg an 320 Tagen/Jahr verbraucht werden, betragen die Jahreskosten: $200 \times 0,40 \times 320 = \text{25.600 €}$.